Question

如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足

如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF2+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．





Answer 1

（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

．
又∵OB=2，
∴OD＝

OB2?BD2

＝

22?( 1 2 )2

＝

15

2

；
（2）存在，DE的长度是不变的．
如图1中的图1，连结AB，
                              图1
则AB＝

OB2+OA2

＝2

2

，
∵点D、点E分别是BC、AC的中点，
∴DE=

1

2

AB＝

2

．
存在，∠DOE的度数是不变的．
如图2中的图1，连结OC，
                                        图2
可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°
∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°；
（3）
如图3中的图2，
                            图3
设EF=x，由（2）解法一，可知DE=

2

在Rt△DFE中，DF²=DE²-EF²=2-x²
∴DF ²+EF=-x²+x+2
∴当x＝

1

2

，即EF=

1

2

时，DF ²+EF取得最大值，
此时，DF=

7

2

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=

14

2

在Rt△BOD中，BD＝

OB2?OD2

＝

22?( 14 2 )2

＝

2

2

∴sin∠BOD＝

BD

OB

＝

2 2

2

＝

2

4

．