Question

已知函数f(x)＝alnx?1x，a为常数．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求

已知函数f(x)＝alnx?1x，a为常数．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当x≥1时，f（x）≤2x-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝

ax+1

x2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1．                          …（4分）
（2）由f′(x)＝

ax+1

x2

，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜?

1

a

，所以f（x）的单调增区间为(0，?

1

a

)；
由f'（x）＜0，得x＞?

1

a

，所以f（x）的单调减区间为(?

1

a

，+∞)．  …（10分）
（3）设g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），∴g′(x)＝

?2x2+ax+1

x2

设h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0
当a≤1时，h（x）=-2x²+ax+1的对称轴为x＝

a

4

＜1，h（x）在[1，+∞）上是减函数，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是减函数
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
当a＞1时，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1＝

a+ a2+8

4

＞1，x2＝

a? a2+8

4

＜ 0
当x∈[1，x₁）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x₁）上是增函数；
当x∈（x₁，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x₁）上是减函数；
∴g（1）＜g（x₁），即f（x₁）＞2x-3，不满足题意
综上，实数a的取值范围为a≤1