Question

判断函数奇偶性f(x)=x(x－1)x≥0 －x(x+1)x＜0

Answer 1

已知函数f(x)=x-(1/x)；(1)判断函数f(x)的奇偶性 并加以证明;（2）用定义证明f（x）在区间[1，+∞）上为增函数.

解：(1)。f(x)=x-(1/x)的定义域为x≠0，故其定义域关于原点对称，满足具有奇偶性的必要条件；
又f(-x)=-x+(1/x)=-[x-(1/x)]=-f(x)，故f(x)=x-(1/x)是奇函数。
(2)。设1≦x₁<x₂≦+∞是区间[1，+∞）上的任意两点，由于：
f(x₁)-f(x₂)=[x₁-(1/x₁)]-[x₂-(1/x₂)]=(x₁-x₂)-[(1/x₁)-(1/x₂)]=(x₁-x₂)-[(x₂-x₁)/(x₁x₂)]
=(x₁-x₂)+(x₁-x₂)/(x₁x₂)=(x₁-x₂)[1-1/(x₁x₂)]=(x₁-x₂)(x₁x₂-1)/(x₁x₂)<0恒成立，这是
因为1≦x₁<x₂≦+∞，故x₁-x₂<0；x₁x₂>1，从而x₁x₂-1>0，x₁x₂>0之故。
故在区间[1，+∞）上恒有f(x₁)<f(x₂)，即f(x)是增函数。