Question

（2009?福建）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB

（2009?福建）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积．

Answer 1

（I）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°
∴BD＝

AB2+AD2?2AB?2ADcos∠DAB

＝2

3

∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥DB，
又∵平面EBD⊥平面ABD
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD，
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE．

（Ⅱ）解：由（I）知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥DB
在Rt△DBE中，∵DB＝2

3

，DE=DC=AB=2
∴S△DBE＝

1

2

DB?DE＝2

3

又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，
∴AB⊥BE，
∵BE=BC=AD=4，∴S△ABE＝

1

2

AB?BE＝4，
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ED⊥平面ABD
而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝

1

2

AD?DE＝4
综上，三棱锥E-ABD的侧面积，S＝8+2

3