Question

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE=CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BC上一动点，求证：PA=PC+2PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．





Answer 1

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°；
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE＝

2

PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA＝AE+PE＝PC+

2

PB．（4分）

（3）答：PA＝PC+

3

PB；
证明：在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
又∵∠APB=30°，
∴PQ＝

3

PB
∴PA＝PQ+AQ＝

3

PB+PC（7分）