Question

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx+5．（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx+5．（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）a=-1，f（x）=x²-2lnx+5，
f′(x)＝2x?

2

x

=

2x2?2

x

，x＞0，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴f（x）_极小值=f（1）=1+5=6．无极大值．
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx，其定义域为x＞0
当a=0时，f（x）=x²-2x
∴x＜1时，f（x）单调减；x≥1时，f（x）单调增；
当a≠0时，令f′（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=0，得x₁=1，x₂=a
f''（x）=2-

2a

x2

，f''（1）=2-2a；f''（a）=2-

2

a

，
2-2a＞0，a＜1，2-

2

a

a＞1，
当a=1时，f′（x）≥0，在定义域内f（x）单调增；
当a＞1时，f''（1）＜0；f''（a）＞0，f（x）在x₁处取极大值；在x₂处取极小值；
∴x∈（0，1）时，f（x）单调增；x∈[1，a）时，f（x）单调减；
x∈[a，+∞）时，f（x）单调增；
当0＜a＜1时，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁处取极小值；在x₂处取极大值；
∴x∈（0，a）时，f（x）单调增；
x∈[a，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当a＜0时，f''（1）＞0；f''（a）＜0，f（x）在x₁处取极小值；x₂不在定义域内；
∴x∈（0，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增．
综上：当a＜=0时，x∈（0，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f（x）单调增；
x∈[a，1）时，f（x）单调减；x∈[1，+∞）时，f（x）单调增；
当a=1时，f’（x）＞=0，在定义域内f（x）单调增；
当a＞1时，x∈（0，1）时，f（x）单调增；
x∈[1，a）时，f（x）单调减；x∈[a，+∞）时，f（x）单调增．