如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若
如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）...
如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是______．证明：（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是______．证明：（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是______．（写出关系式，不必证明）
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证明：
（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=
AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=
AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（2）解：EF=
EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
＝
=
，
即EM=
CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴
＝
=
∴EN=
AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
=
=1，
∴
=1×
=
，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴
=
=
，
即EF=
EG；
（3）证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
＝
=
，
即EM=
CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴
＝
=
∴EN=
（1）如图1，连接DE，∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=
| 1 |
| 2 |
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=
| 1 |
| 2 |
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．
（2）解：EF=
| 1 |
| n |
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
| EM |
| CD |
| AE |
| AC |
| 1 |
| n+1 |
即EM=
| 1 |
| n+1 |
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴
| EN |
| AD |
| CE |
| AC |
| n |
| n+1 |
∴EN=
| n |
| n+1 |
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
| CD |
| AD |
| BC |
| AC |
∴
| EM |
| EN |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴
| EF |
| EG |
| EM |
| EN |
| 1 |
| n |
即EF=| 1 |
| n |
（3）证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴
| EM |
| CD |
| AE |
| AC |
| 1 |
| n+1 |
即EM=
| 1 |
| n+1 |
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴
| EN |
| AD |
| CE |
| AC |
| n |
| n+1 |
∴EN=
