Question

已知：a∈R，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）设x=-1是f（x）的一个极值点．求f（x）在区间[-2，2]上的最大

已知：a∈R，f（x）=（x2-4）（x-a）．（1）设x=-1是f（x）的一个极值点．求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[-1，1]上不是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a
∴f'（x）=3x²-2ax-4
又f′(?1)＝0，∴a＝

1

2

（2分）
∴f(x)＝(x2?4)(x?

1

2

)，f′(x)＝3x2?x?4
由f′(x)＝0，得x＝?1或x＝

4

3

.（4分）
由f(

4

3

)＝?

50

27

，f(?1)＝

9

2

，f(2)＝0，f(?2)＝0
得f（x）在[-2，2]上的最大值为

9

2

，最小值为?

52

27

（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-2ax-4，
先考虑f（x）在[-1，1]是单调函数
则f'（x）的符号在（-1，1）上是确定的
∵f'（0）=-4＜0
∴此时f'（x）＜0对于x∈（-1，1）一恒成立（10分）
∴由二次函数性质，知

f′(?1)＝2a?1≤0 f′(1)＝?1?2a≤0

得：?

1

2

≤a≤

1

2

.（13分）
∴当f（x）在[-1，1]上不是单调函数时，a的取值范围是：a＜?

1

2

或a＞

1

2

.（15分）

Answer 2

（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a
∴f'（x）=3x²-2ax-4
又f′(?1)＝0，∴a＝

1

2

（2分）
∴f(x)＝(x2?4)(x?

1

2

)，f′(x)＝3x2?x?4
由f′(x)＝0，得x＝?1或x＝

4

3

.（4分）
由f(

4

3

)＝?

50

27

，f(?1)＝

9

2

，f(2)＝0，f(?2)＝0
得f（x）在[-2，2]上的最大值为

9

2

，最小值为?

52

27

（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-2ax-4，
先考虑f（x）在[-1，1]是单调函数
则f'（x）的符号在（-1，1）上是确定的
∵f'（0）=-4＜0
∴此时f'（x）＜0对于x∈（-1，1）一恒成立（10分）
∴由二次函数性质，知

f′(?1)＝2a?1≤0 f′(1)＝?1?2a≤0

得：?

1

2

≤a≤

1

2

.（13分）
∴当f（x）在[-1，1]上不是单调函数时，a的取值范围是：a＜?

1

2

或a＞

1

2

.（15分）