Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=3，ccosB+（2a+b）cosC=0（1）求角C的大小；（2）求

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=3，ccosB+（2a+b）cosC=0（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，ccosB+（2a+b）cosC=0，
∴由正弦定理，可得sinCcosB+（2sinA+sinB）cosC=0，
即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，所以sin（B+C）+2sinAcosC=0，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA+2sinAcosC=0，即sinA（1+2cosC）=0，可得cosC=-

1

2

．
又∵C是三角形的内角，∴C=

2π

3

；
（2）根据余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∵c=

3

，cosC=-

1

2

，
∴3=a²+b²-2ab×（-

1

2

），整理得a²+b²=3-ab，
又∵a²+b²≥2ab，∴3-ab≥2ab，可得ab≤1，
由此可得：△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

×1=

3

4

，
∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积的最大值为

3

4

．

Answer 2

（1）∵在△ABC中，ccosB+（2a+b）cosC=0，∴由正弦定理，可得sinCcosB+（2sinA+sinB）cosC=0，即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，所以sin（B+C）+2sinAcosC=0，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，∴sinA+2sinAcosC=0，即sinA（1+2cosC）=0，可得cosC=-12．又∵C是三角形的内角，∴C=2π3；（2）根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，∵c=3，cosC=-12，∴3=a2+b2-2ab×（-12），整理得a2+b2=3-ab，又∵a2+b2≥2ab，∴3-ab≥2ab，可得ab≤1，由此可得：△ABC的面积S=12absinC=34ab≤34×1=34，∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积的最大值为34．