Question

设z=f（2x-y）+g（x，xy），其中函数f（t）二阶可导，g（u，v）具有连续二阶偏导数，求?2z?x?y

设z=f（2x-y）+g（x，xy），其中函数f（t）二阶可导，g（u，v）具有连续二阶偏导数，求?2z?x?y．

Answer 1

因为：z=f（2x-y）+g（x，xy）
所以：

?z

?x

=

?

?x

[f（2x-y）+g（x，xy）]
=

?

?x

f（2x-y）+

?

?x

g（x，xy）
=f′

?

?x

（2x-y）+g₁′

?

?x

（x）+g₂′

?

?x

（xy）
=2f′+g₁′+yg₂′

?2z

?x?y

=

?

?y

（2f′+g₁′+yg₂′）
=2

?

?y

f′+

?

?y

g₁′+

?

?y

（yg₂′）
因为：
2

?

?y

f′=2f″

?

?y

（2x-y）=-2f″；

?

?y

g₁′=g₁₁″

?

?y

（x）+g₁₂″

?

?y

（xy）=xg₁₂″；

?

?y

（yg₂′）=g₂′+y

?

?y

g₂′
=g₂′+yg₂₁″

?

?y

（x）+yg₂₂″

?

?y

（xy）
=g₂′+xyg₂₂″
所以：

?2z

?x?y

=2

?

?y

f′+

?

?y

g₁′+

?

?y

（yg₂′）
=-2f″+xg₁₂″+g₂′+xyg₂₂″
故

?2z

?x?y

的值为：
-2f″+xg₁₂″+g₂′+xyg₂₂″

Answer 2