Question

已知函数f(x)＝px2+2q?3x是奇函数，且f(2)＝?53．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用定义证明函数f（x

已知函数f(x)＝px2+2q?3x是奇函数，且f(2)＝?53．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即

px2+2

q+3x

＝?

px2+2

q?3x

（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)＝?

5

3

，
所以f(2)＝

4p+2

?6

＝?

5

3

，解得p=2．
故所求解析式为f(x)＝

2x2+2

?3x

．（6分）
（Ⅱ）由（1）得f(x)＝

2x2+2

?3x

＝?

2

3

(x+

1

x

)．
设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)?f(x2)＝

2

3

[(x2+

1

x2

)?(x1+

1

x1

)]═

2

3

(x1?x2)×

1?x1x2

x1x2

．（10分）
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
从而得到f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）