Question

数学导函数大题，求大神帮忙，要步骤！

Answer 1

解：
(1)由题意，得 f'(x) = a/x + x + b，f''(x) = -a/x² + 1。
由于x = 1是极值点，所以f'(1) = a + 1 + b =0，b = -a-1。
由于x = 1是极大值点，所以f''(1) = -a + 1 <0，a > 1。
令 f'(x) = a/x + x + b = a/x + x - a - 1 = (x-1)(x-a)/x = 0，可求出f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
要使函数f(x)有意义，则有 x >0。前面已推得a>1，故
0<x<1时， f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0，f(x)递增；
1<x<a时， f'(x) = (x-1)(x-a)/x < 0，f(x)递减；
x>a时， f'(x) = (x-1)(x-a)/x > 0，f(x)递增。
即f(x)的增区间为(0，1)和(a，+∞)，f(x)的减区间为(1，a)。

(2)第1问已推得f(x)的极值点为 x = 1 或 x = a。
根据函数图像可知，要使f(x)=0恰有两根，则有f(1)=0或f(a)=0。
将b = -a-1代入f(x) = a lnx + (1/2)x² + bx，得f(x) = a lnx + (1/2)x² - (a+1)x
当f(1) = 0时，f(1) = 1/2 - (a+1) =0 解得 a = -1/2
当f(a) = 0时，f(a) = a lna + (1/2)a² - (a+1)a = a lna - (1/2)a² - a = 0
由题意 a≠0，故 lna - (1/2)a - 1 = 0。
这是个在实域内无解的超越方程，要证明其无解，可用以下方法：
令g(a) = lna - (1/2)a - 1，则g'(a) = 1/a - 1/2。
要使g(a)有意义，则a>0。
当0<a<2时，g'(a) >0，g(a)为增函数；当a>2时，g'(a)<0，g(a)为减函数。
故g(a)在a=2处有最大值，其值为g(2) = ln2 -2 <0

故g(a)<0恒成立，方程g(a)=0无实数解。
综上，a的取值范围为{a|a = -1/2}。