Question

关于正弦函数，余弦函数求值域的问题 14,15两题

Answer 1

第14题：
f(x) = log(1/2)[(1-sinx)/(1+sinx)]
∵零和负数无对数
∴(1-sinx)/(1+sinx)＞0

∴-1＜sinx＜1
∴定义域：x≠kπ±π/2，其中k属于Z

(1-sinx)/(1+sinx) = {2-(1+sinx)}/(1+sinx) = 2/(1+sinx) - 1
-1＜sinx＜1
0＜1+sinx＜2
+无穷大＞2/(1+sinx)＞1
+无穷大＞2/(1+sinx) - 1＞0
-无穷大＜log(1/2)[2/(1+sinx) - 1]＜+无穷大
值域：（-无穷大，+无穷大）

f(-x) = log(1/2)[(1-sin(-x))/(1+sin(-x))] = log(1/2)[(1+sinx)/(1-sinx)] = -f(x)
奇函数

x属于(2kπ-π/2，2kπ+π/2）时，sinx单调增， 2/(1+sinx) - 1单调减，log(1/2)[(1-sinx)/(1+sinx)]单调增；x属于(2kπ+π/2，2kπ+3π/2）时，sinx单调减， 2/(1+sinx) - 1单调增，log(1/2)[(1-sinx)/(1+sinx)]单调减。
∴单调增区间：(2kπ-π/2，2kπ+π/2）；单调减区间：(2kπ+π/2，2kπ+3π/2），其中k属于Z

第15题：
y=(2sinθ-2)/(cosθ-3)
∵cosθ属于【-1，1】
∴cosθ-3≠0
两边同乘以cosθ-3：
ycosθ-3y = 2sinθ-2
2sinθ-ycosθ=2-3y
令cosβ=2/√(4+y²)，sinβ=y/√(4+y²)
√(4+y²){sinθcosβ-cosθsinβ) = 2-3y
sin(θ-β) = (2-3y)/√(4+y²)属于[-1，1]
|2-3y|≤√(4+y²)

(2-3y)²≤4+y²
4-6y+9y²≤4+y²
8y²-6ye≤0
8y(y-3/4)≤0
0≤y≤3/4
值域【0，3/4】