分部积分法求定积分
推荐于2017-12-16
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∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx
= ∫(0→π/2) e^(2x) d(sinx)
= e^(2x)sinx|(0→π/2) - ∫(0→π/2)sinxde^(2x)
= e^π·sin(π/2)-0-2 ∫(0→π/2) e^(2x) sinx dx
= e^π + 2 ∫(0-π/2) e^(2x) d(cosx)
= e^π + 2 [e^(2x)cosx|(0→π/2)-∫(0-π/2) cosx d e^(2x)]
= e^π + 2 e^π · cos(π/2)-2 e^0· cos0- 4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx
= e^π-2-4 ∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx
∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = e^π-2-4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx
∴ 5 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = e^π-2
∴ ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = (e^π-2)/5
整体的思路,就是分部积分。
然后获得左右两边都有∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx 的等式,然后解出∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx
= ∫(0→π/2) e^(2x) d(sinx)
= e^(2x)sinx|(0→π/2) - ∫(0→π/2)sinxde^(2x)
= e^π·sin(π/2)-0-2 ∫(0→π/2) e^(2x) sinx dx
= e^π + 2 ∫(0-π/2) e^(2x) d(cosx)
= e^π + 2 [e^(2x)cosx|(0→π/2)-∫(0-π/2) cosx d e^(2x)]
= e^π + 2 e^π · cos(π/2)-2 e^0· cos0- 4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx
= e^π-2-4 ∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx
∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = e^π-2-4 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx
∴ 5 ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = e^π-2
∴ ∫(0→π/2) e^(2x) cosx dx = (e^π-2)/5
整体的思路,就是分部积分。
然后获得左右两边都有∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx 的等式,然后解出∫(0-π/2) e^(2x) cosx dx
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