Question

这道题怎么证明

Answer 1

因为f(x)在x趋于无穷时的极限存在，所以存在一个N, 使得对于任意的充分小的e 只要x,y>=N, 就有|f(x)-A|<=e 和 |f(y)-A|<=e，这意味着|f(x)-f(y)|<=|f(x)-A|+|f(y)-A|<=2e。由假设知此处e不依赖于x,y的取值所以 f(x)在区间[N，∞)上是一致收敛的。

其次，在闭区间[a,N]上连续函数 f(x)也是一致收敛的。

最后，对于x<N，y>N这种情况，我们可以这样估计|f(y)-f(x)|<=|f(y)-f(N)|+|f(N)-f(x)|<一个充分小的数，当x,y非常靠近时。

所以 f(x)在[a,∞)上都是一致收敛的。