Question

已知函数 若函数 的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围。

已知函数 若函数 的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围。

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Answer 1

本试题主要是研究函数图像与图像 的交点问题的运用。根据已知中函数图像的关系可知，转换为方程根的问题来处理，即为关于x的方程 有三个不同的实数根 然后构造函数借助于导数的极值来判定结论。 解：函数 的图像有三个不同的交点等价于方程 有三个不同的实数根。即关于x的方程 有三个不同的实数根。令 则 ，解得 令 ，解得 。所以 在 上为增函数，在（0，2）上为减函数。所以 为极大值，h（2）为极小值。从而 解得

Answer 2

已知函数f(x)=x^3-2x^2+x,g(x)=x^2+x+a,若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有三个不同的交点,求实数a的取值范围：
y=f(x)与y=g(x)有三个不同的交点,那么方程f(x)-g(x)=0有三个不相等的实数根.
设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=x^3-3x^2-a,该函数三次方系数大于0,由三次函数图像特点可知,只要F(x)的极小值小于0,图像与x轴有三个交点,即F(x)=0有三个不同实数根,下面问题转化为求函数极小值。
对F(x)求导数,得F‘(x)=3x²-6x,求得函数两个极点横坐标分别为x=0,x=2,很容易求得x=2时取得极小值,所以要使F(x)图像与x轴有三个交点,则有F(2)。