Question

已知α、β是三次函数f(x)＝13x3+12ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则b?2

已知α、β是三次函数f(x)＝13x3+12ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则b?2a?1的取值范围是______．

Answer 1

解：f′（x）=x²+ax+2b
∵α，β是f（x）的极值点，
所以α，β是x²+ax+2b=0的两个根
∴α+β=-a，αβ=2b
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
∴

?3＜a＜?1 0＜b＜1

作出不等式组∴

?3＜a＜?1 0＜b＜1

的可行域

b?2

a?1

表示可行域中的点与（1，2）连线的斜率
有图知，当当点为（-3，1）和（-1，0）时分别为斜率的最小、最大值
所以此时两直线的斜率分别是

2?1

1??3

＝

1

4

，  

2?0

1?(?1)

＝1
故答案为(

1

4

，1)