Question

观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：①方程x 2 -7x+6=0，x 1 =1，x 2 =6，而x 2 -7x+6=（x-1）（x-

观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：①方程x 2 -7x+6=0，x 1 =1，x 2 =6，而x 2 -7x+6=（x-1）（x-6）；②方程x 2 -4x-5=0，x 1 =5，x 2 =-1，而x 2 -4x-5=（x-5）（x+1）；③方程4x 2 -12x+9=0， x 1 = 3 2 ， x 2 = 3 2 ，而 4 x 2 -12x+9=4(x- 3 2 )(x- 3 2 ) ；④方程3x 2 +7x+4=0， x 1 =- 4 3 ，x 2 =-1，而 3 x 2 +7x+4=3(x+ 4 3 )(x+1) ；…（1）探究规律：当方程ax 2 +bx+c=0（a≠0）时，______；（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解：x 2 -x-2；2x 2 +3x-2（3）拓广应用：已知，如图，现有1×1，a×a的正方形纸片和1×a的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2a 2 +5a+2，并标出此矩形的长和宽．

Answer 1

（1）∵方程ax 2 +bx+c=0， 方程的根为：x= -b± b 2 -4ac 2a ， ∴ax 2 +bx+c=（x- -b+ b 2 +4ac 2a ）（x- -b- b 2 -4ac 2a ）； （2）∵x 2 -x-2=0， x 1 =2，x 2 =-1， ∴x 2 -x-2； =（x-2）（x+1）； ∵2x 2 +3x-2=0， x 1 =-2，x 2 = 1 2 ， ∴2x 2 +3x-2， =（x+2）（2x-1）； （3）2a 2 +5a+2=0， x 1 =- 1 2 ，x 2 =-2， ∴2a 2 +5a+2， =（2a+1）（a+2）， ∴此矩形的长和宽分别为：2a+1，a+2．