Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA予点E。 （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）， ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD， ∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2× =1 ∴E（0，1） 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0）， 将点E的坐标代入，得c=1， 将c=1和点D、C的坐标分别代入，得 ，解这个方程组，得 ， 故抛物线的解析式为y= ； （2）EF=2GO成立， ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为 ， ∴点M的纵坐标为 ， 设DM的解析式为y=kx+b 1 （k≠0）， 将点D、M的坐标分别代入，得 ，解得 ， ∴DM的解析式为y=- x+3， ∴F（0，3），EF=2， 如图甲，过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK， ∵∠ADK=∠FDG=90°， ∴∠FDA=∠GDK， 又∵∠FAD=∠GKD=90°， ∴△DAF≌△DKG， ∴KG=AF=1， ∴CO=1， ∴EF=2GO； （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）， ∴PG 2 =（t-1） 2 +2 2 ，PC 2 =（3-t） 2 +2 2 ，GC=2， ①若PG=PC，则（t-1） 2 +2 2 =（3-t） 2 +2 2 ，解得t=2， ∴P（2，2），此时点Q与点P重合， ∴Q（2，2）； ②若PG=GC，则（t-1） 2 +2 2 =2 2 ，解得t=1， ∴P（1，2），此时GP⊥x轴，CP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1， ∴点Q的纵坐标为 ， ∴Q（1， ）； ③若PC=GC，则（3-t） 2 +2 2 =2 2 ，解得t=3， ∴P（3，2），此时 PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形， 如图乙，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h， ∴Q（h+1，h）， ∴（h+1） 2 +（h+1）+1=h，解得h 1 = ，h 2 =-2（舍去）， ∴ ， 综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q 或 。