Question

已知关于x的一元二次方程x 2 +cx+a=0的两个整数根恰好比方程x 2 +ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值

已知关于x的一元二次方程x 2 +cx+a=0的两个整数根恰好比方程x 2 +ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．

Answer 1

设方程x 2 +ax+b=0的两个根为α，β， ∵方程有整数根， 设其中α，β为整数，且α≤β， 则方程x 2 +cx+a=0的两根为α+1，β+1， ∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，（5分） 两式相加，得αβ+2α+2β+1=0， 即（α+2）（β+2）=3， ∴ α+2=1 β+2=3 或 α+2=-3 β+2=-1. （10分） 解得 α=-1 β=1 或 α=-5 β=-3. 又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2， 或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6， ∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6， ∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29， 故a+b+c=-3，或29．（20分）