Question

已知函数f（x）=（x-k）e x ．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值

已知函数f（x）=（x-k）e x ．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）e x ， 令f′（x）=0，得x=k-1， f′（x）f（x）随x的变化情况如下： x （-∞，k-1） k-1 （k-1，+∞） f′（x） - 0 + f（x） ↓ -e k-1 ↑ ∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）； （Ⅱ）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k； 当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-e k-1 ； 当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e； 综上所述f（x） min = -k k≤1 - e k-1 1＜k＜2 (1-k)e k≥2 ．