Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．（1）求证：PD

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．（1）求证：PD⊥平面AMN；（2）求三棱锥P-AMN的体积；（3）求二面角P-AN-M的大小．

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形， ∴CD⊥AD ∵PA⊥底面ABCD， ∴AD是PD在平面ABCD内的射影， ∴CD⊥PD 在△PCD中，M、N分别为PD、PC的中点，则MN ∥ CD， ∴MN⊥PD ∵在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点， ∴AM⊥PD， ∵AM∩MN=M，AM?平面AMN，MN?平面AMN ∴PD⊥平面AMN （2）∵CD⊥AD，CD⊥PD， ∴CD⊥平面PAD． ∵MN ∥ CD， ∴MN⊥平面PAD 又∵AM?平面PAD ∴MN⊥AM，即∠AMN=90°， ∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点， ∴AM=PM= 2 ． 又∵ MN= 1 2 CD=1 ， ∴ S △AMN = 1 2 AM?MN= 2 2 ． ∵PM⊥平面AMN， ∴PM为三棱锥P-AMN的高， ∴ V 三棱锥P-AMN = 1 3 S △AMN ?PM= 1 3 ． （3）作MH⊥AN于H，连接PH， ∵PM⊥平面AMN， ∴PH⊥AN， ∴∠PHM为二面角P-AN-M的平面角 ∵PM⊥平面AMN， ∴PM⊥MH． 在Rt△AMN中， MH= AM?MN AN = 2 3 ， ∴在Rt△PMH中， tan∠PHM= PM MH = 2 2 3 = 3 ， ∴∠PHM=60°则二面角P-AN-M的大小为60°．