Question

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）A．10B．15C．20D．30

Answer 1

https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/0d338744ebf81a4cf4fc7d7fd42a6059242da6be?x-bce-process=image/quality,q_85解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，∴EF=10，
即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．
故选A．