Question

设各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：2Sn=an?（an+1）；数列{bn}满足：bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N

设各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：2Sn=an?（an+1）；数列{bn}满足：bn-bn-1=an-1（n≥2，n∈N*），且b1=1．（1）求an和bn；（2）设Tn为数列{1bn+2n}的前n项和，若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）n=1时，2S₁=a₁?（a₁+1），∴a₁=1
∵2S_n=a_n?（a_n+1），
∴n≥2时，2S_n-1=a_n-1?（a_n-1+1），
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n；
∵b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

n(n?1)

2

+1=

n2?n+2

2

n=1时也成立，
∴b_n=

n2?n+2

2

；
（2）

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=2（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

，
∵T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，
∴

n

n+2

≤λ（n+1）对一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

n

(n+2)(n+1)

．
∵

n

(n+2)(n+1)

=

1

n+ 2 n +3

≤

1

1+2+3

=

1

6

（n=1或2），
∴λ≥

1

6

，
∴实数λ的最小值为

1

6

．