在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且A?C＝π2．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时，求
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且A?C＝π2．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．...
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且A?C＝π2．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．
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（1）∵a=2c，
由正弦定理可得，sinA=2sinC
∵A?C＝
则C为锐角，cosC＞0
∴sinA=sin（C+
）=cosC
联立可得，2sinC=cosC
∵sin2C+cos2C=1
∴sinC＝
，cosC=
（2）由A=C+
π可得B=π-（A+C）=
π?2C
∴sinB=cos2C=2cos2C-1=
由正弦定理可得，
＝
即
＝
∴c=
由三角形的面积公式可得，S=
absinC=
×
由正弦定理可得，sinA=2sinC
∵A?C＝
| π |
| 2 |
∴sinA=sin（C+
| π |
| 2 |
联立可得，2sinC=cosC
∵sin2C+cos2C=1
∴sinC＝
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
（2）由A=C+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴sinB=cos2C=2cos2C-1=
| 3 |
| 5 |
由正弦定理可得，
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
即
| 1 | ||
|
| c | ||||
|
∴c=
| ||
| 3 |
由三角形的面积公式可得，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
|
