Question

已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；

已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

（1）∵f'（x）=3x²-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函数的最小值为f（x）_min=-2
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 3a＜x2?

lnx

x

在[1，2]上恒成立
设h（x）=x2?

lnx

x

则 h′(x)＝2x?

1?lnx

x2

＝

2x3+lnx?1

x2

∵2x³-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）_min=h（1）=1
∴a＜

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)＝3x2?3a＝3(x+

a

)(x?

a

)，（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当 0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，

a

]上单调递减，在 [

a

，1]单调递增；
1°当 f(1)＝1?3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，g(x)＝|f(x)|＝?f(x)，?f(x)在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]上单调递减，F(a)＝?f(

a

)＝2a

a

；
2°当 f(1)＝1?3a＞0，即0＜a＜

1

3

（ⅰ）当 ?f(

a

)≤f(1)＝1?3a，即0＜a≤

1

4

时，F(a)＝f(1)＝1?3a
（ⅱ）当 ?f(

a

)＞f(1)＝1?3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F(a)＝?f(

a

)＝2a

a

（1）-2
∴F（a）=

1?3a，0＜a≤ 1 4 2a a 1 4 ＜a＜1 3a?1，a≥1