Question

已知二项式（1-2log2x）n的展开式的所有奇数项的二项式系数之和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的所有

已知二项式（1-2log2x）n的展开式的所有奇数项的二项式系数之和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的所有项的系数之和；（3）求展开式的所有偶数项的系数之和．

Answer 1

（1）∵二项式（1-2logx）ⁿ的展开式的所有奇数项的二项式系数之和为2^n-1=64，
∴n=7．
（2）设（1-2log₂x）ⁿ=a0+a1log2x+a2log22x+…+a7log27x
令x=2，得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=（1-2log₂2）⁷=-1  ①
（3）令x=

1

2

，得：a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=（1-2log₂

1

2

）⁷=3⁷  ②
①-②，得
a₁+a₃+a₅+a₇=（1-3⁷）÷2=-1094
即展开式的所有偶数项的系数之和为-1094．