（2014?吴中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的
（2014?吴中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（...
（2014?吴中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求：①AE的长；②tanB的值．
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（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OC=OA，
∴∠AOD=∠COD．
在△AOE和△COE中
∴Rt△AOE≌Rt△COE（SAS），
∴∠EAO=∠ECO．
又∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=90°．
∴∠EAO=90°．
∴AE与⊙O相切；
（2）①设DO=t，则DE=3t，EO=4t，
∵
＝
，即
＝
，
∴t＝
，即EO=18．
∴AE＝
＝
＝9
；
②延长BD交AE于F，过O作OG∥AE交BD于G，
∵OG∥AE，
∴∠FED=∠GOD．
又∵∠EDF=∠ODG，
∴△OGD∽△EFD．
＝
＝
，即EF=3GO．
又∵O是AB的中点，
∴AF=2GO．
∴AE=AF+FE=5GO．
∴5GO=9
，
∴GO＝
．
∴AF＝
．
∴tanB=
＝
．
∵OD⊥AC，OC=OA，
∴∠AOD=∠COD．
在△AOE和△COE中
|
∴Rt△AOE≌Rt△COE（SAS），
∴∠EAO=∠ECO．
又∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=90°．
∴∠EAO=90°．
∴AE与⊙O相切；
（2）①设DO=t，则DE=3t，EO=4t，
∵
| AO |
| DO |
| EO |
| AO |
| 9 |
| t |
| 4t |
| 9 |
∴t＝
| 9 |
| 2 |
∴AE＝
| EO2?AO2 |
| 182?92 |
| 3 |
②延长BD交AE于F，过O作OG∥AE交BD于G，
∵OG∥AE，
∴∠FED=∠GOD．
又∵∠EDF=∠ODG，
∴△OGD∽△EFD．
| EF |
| OG |
| ED |
| DO |
| 3 |
| 1 |
又∵O是AB的中点，
∴AF=2GO．
∴AE=AF+FE=5GO．
∴5GO=9
| 3 |
∴GO＝
9
| ||
| 5 |
∴AF＝
18
| ||
| 5 |
∴tanB=
| AF |
| AB |
| ||
| 5 |
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