(2014?吴中区一模)已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的
(2014?吴中区一模)已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接AE.(1)求证:AE与⊙O相切;(...
(2014?吴中区一模)已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接AE.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)连接BD,若ED:DO=3:1,OA=9,求:①AE的长;②tanB的值.
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(1)连接OC,
∵OD⊥AC,OC=OA,
∴∠AOD=∠COD.
在△AOE和△COE中
∴Rt△AOE≌Rt△COE(SAS),
∴∠EAO=∠ECO.
又∵EC是⊙O的切线,
∴∠ECO=90°.
∴∠EAO=90°.
∴AE与⊙O相切;
(2)①设DO=t,则DE=3t,EO=4t,
∵
=
,即
=
,
∴t=
,即EO=18.
∴AE=
=
=9
;
②延长BD交AE于F,过O作OG∥AE交BD于G,
∵OG∥AE,
∴∠FED=∠GOD.
又∵∠EDF=∠ODG,
∴△OGD∽△EFD.
=
=
,即EF=3GO.
又∵O是AB的中点,
∴AF=2GO.
∴AE=AF+FE=5GO.
∴5GO=9
,
∴GO=
.
∴AF=
.
∴tanB=
=
.
∵OD⊥AC,OC=OA,
∴∠AOD=∠COD.
在△AOE和△COE中
|
∴Rt△AOE≌Rt△COE(SAS),
∴∠EAO=∠ECO.
又∵EC是⊙O的切线,
∴∠ECO=90°.
∴∠EAO=90°.
∴AE与⊙O相切;
(2)①设DO=t,则DE=3t,EO=4t,
∵
AO |
DO |
EO |
AO |
9 |
t |
4t |
9 |
∴t=
9 |
2 |
∴AE=
EO2?AO2 |
182?92 |
3 |
②延长BD交AE于F,过O作OG∥AE交BD于G,
∵OG∥AE,
∴∠FED=∠GOD.
又∵∠EDF=∠ODG,
∴△OGD∽△EFD.
EF |
OG |
ED |
DO |
3 |
1 |
又∵O是AB的中点,
∴AF=2GO.
∴AE=AF+FE=5GO.
∴5GO=9
3 |
∴GO=
9
| ||
5 |
∴AF=
18
| ||
5 |
∴tanB=
AF |
AB |
| ||
5 |
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