Question

三角形ABC是直角三角形，角ABC等于90度，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE。1,求证：DE

三角形ABC是直角三角形，角ABC等于90度，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE。1,求证：DE与原O相切。2,若圆O的半径为根号3,DE=3,求AE。

Answer 1

（1）连接OD，则OD为三角形ABC的中位线，所以，OD//AC

这样角BOD=角BAC，角DOE=角AEO，又因为AO=EO，所以角OAE=角AEO

所以，角DOE=角AEO=角OAE=角BOD，

另外，OE=OB，OD=OD，这样三角形BOD和EOD全等，所以，OED=OBD=90度，即DE与圆O相切。

（2）OB=根号3，BD=3，所以OD=2倍根号3，即OB为OD的一半，即角ODB=30度，所以，角C=30度，角A=60度，

连接BE，因为AEC为直径对的圆周角，AEC=90度，

AE=AB×cosA=根号3

Answer 2

做圆心O到D的辅助线OD，及半径OE。
显然OD平行于AC，所以，角BOD=角OAE；角EOD=角OEA。而角OAE=角OEA，所以角BOD=角EOD。
此外，△BOD和△EOD中，OB=OE，OD=OD，所以，△BOD和△EOD是全等三角形。
∠ABC=90°，所以∠OED=90°，即DE与半径OE垂直，所以DE与园相切。
在△EOD中，OE=根号3，DE=3，可以求得角EOD=60°。所以角BOD=60°。
可以求得，角AOE=60°。并且∠OAE=∠OEA，
所以△AOE为等边三角形，所以AE=根号3.

Answer 3

1、
∵圆O中AB是直径，
∴∠AEB=90°
在Rt△ABC中，BE⊥AC，
容易知道Rt△AEB∽Rt△EBC，
∴∠A=∠EBD，AE:EB=AB:BC=(2AO):(2BD)=AO:BD
∴△AEO∽△BED
∴∠AEO=∠BED
∴∠OED=∠OEB ∠DEB=∠OEB ∠AEO=∠AEB=90°
∴OE⊥DE
∴DE是圆O的切线。

2、AO=√ 3，DE=3,
则
AB=2√ 3，BC=6，AC=4√ 3，
显然，sinC=1/2，C=30°，
∴∠ABE=∠C=30°，
∴AE=AB*sin∠ABE=√ 3

Answer 4

没图的啊