Question

在等比数列{an}中，an>0,(n∈N+),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.

（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；
（3）是否存在k∈N+,使得S1/1+S2/2+...+Sn/k<k对任意n∈N+恒成立,若存在,求出k的最小值,若不存在请说明理由。

Answer 1

（1）a3与a5的等比中项a4=2,
∴a1a5+2a3a5+a2a8
=a4^2(1/q^2+2+q^2)
=25,
∴1/q^2+2+q^2=25/4，
∴q^4-(17/4)q^2+1=0,
q∈(0,1),
∴q^2=1/4,q=1/2,
∴an=a4*q^(n-4)=1/2^(n-5).
(2)bn=log<2>an=5-n,
∴Sn=n(9-n)/2.
(3)S1/1+S2/2+...+Sn/n
=(1/4)n(17-n)（改题了），
当n=8或9时它取最大值18，
∴k的最小值=19.