高等数学微分方程问题
1。已知y=1,y=x,y=x²,是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为————?2,函数y1(x),y2(x)是微分方程y’+p(x)=0的两...
1。已知y=1,y=x,y=x²,
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为————?
2,函数y1(x),y2(x)是微分方程y’+p(x)=0的两个不同特解,则该方程的通解为——————?
3,设函数y1,y2,y3,都是线性非其次方程y”+p(x)y’+q(x)=0的两个不同特解,则函数y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3(c1,c2为任意常数),则
可能是方程的通解,但不一定是其特解,
为什么呢?
以上三道题麻烦大家帮我解释下,没有思路啊
很着急 展开
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为————?
2,函数y1(x),y2(x)是微分方程y’+p(x)=0的两个不同特解,则该方程的通解为——————?
3,设函数y1,y2,y3,都是线性非其次方程y”+p(x)y’+q(x)=0的两个不同特解,则函数y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3(c1,c2为任意常数),则
可能是方程的通解,但不一定是其特解,
为什么呢?
以上三道题麻烦大家帮我解释下,没有思路啊
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1个回答
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1。已知y=1,y=x,y=x²,
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为————?
解:1-x,1-x^2是相应的齐次线性微分方程的解,两者线性无关,所以这个二阶齐次线性微分方程的通解是C1(1-x)+C2(1-x^2),于是
1+C1(1-x)+C2(1-x^2)是这个二阶非齐次线性微分方程的通解。
2,题目改为二阶:
函数y1(x),y2(x)是微分方程y”+p(x)=0的两个不同特解,则该方程的通解为——————?
解:若y1(x),y2(x)线性无关,则C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解。
若y1(x),y2(x)线性有关,则需继续解下去。
3.设函数y1,y2,y3,都是线性非其次方程y”+p(x)y’+q(x)=0的三个不同特解,则函数(c1,c2为任意常数),则
可能是方程的通解,但不一定是其特解。
解:y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3
=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1),
易知其中y2-y1,y3-y1是对应的y"+p(x)y'=0的特解,
若两者是线性无关的,
则c1(y2-y1)+c2(y3-y1)是y"+p(x)y'=0的通解。所以y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3可能是方程
y”+p(x)y’+q(x)=0的通解。
是某个二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为————?
解:1-x,1-x^2是相应的齐次线性微分方程的解,两者线性无关,所以这个二阶齐次线性微分方程的通解是C1(1-x)+C2(1-x^2),于是
1+C1(1-x)+C2(1-x^2)是这个二阶非齐次线性微分方程的通解。
2,题目改为二阶:
函数y1(x),y2(x)是微分方程y”+p(x)=0的两个不同特解,则该方程的通解为——————?
解:若y1(x),y2(x)线性无关,则C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解。
若y1(x),y2(x)线性有关,则需继续解下去。
3.设函数y1,y2,y3,都是线性非其次方程y”+p(x)y’+q(x)=0的三个不同特解,则函数(c1,c2为任意常数),则
可能是方程的通解,但不一定是其特解。
解:y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3
=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1),
易知其中y2-y1,y3-y1是对应的y"+p(x)y'=0的特解,
若两者是线性无关的,
则c1(y2-y1)+c2(y3-y1)是y"+p(x)y'=0的通解。所以y=(1-c1-c2)y1+c1y2+c2y3可能是方程
y”+p(x)y’+q(x)=0的通解。
系科仪器
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