Question

设f(x)=(x/2) 1.(0≤x≤2)…x,2<x≤3…求∫0到3f(x)dx的定积分

Answer 1

分段函数f(x)的分段点是x=1， 显然在x-> 1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1， 而x=1及x->1+ 时，f(x)的右极限和函数值都等于1， 所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的， 因此其积分函数 I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上也是连续的， 当x∈[0,1) 时， I(x)=∫0到x t^2 dt =(1/3)x^3 当x∈[1,2]时， I(x)=∫0到x f(t) dt =∫0到1 t^2 dt + ∫1到x t dt =1/3 + ∫1到x t dt =1/3 +(x^2-1)/2 =(1/2)x^2-1/6 你是错在直接在[1,2]上用牛顿莱布尼茨公式上限减下限， 答案“在[1,2]上”的意思并不是∫(1到2)f(x)dx， 而是积分函数I(x)=∫0到x f(t) 中的积分上限x在[1,2]上 要注意I(x)=∫0到x f(t)dt 这个定积分是从0积到x的， 所以在[1,2]上 要先从0积到1，再加上1积到x