Question

（数字逻辑）求下列函数的反函数和对偶函数

F=(A非+B)(C+D(AC)非)
F=A[B非+(C(D非)+E非)G]

Answer 1

1、【对偶式】指的是：通过以下变换规则，可实现【互换】的【两个】【逻辑函数表达式】：
①：所有的【与】和【或】互换；
②：所有的【逻辑常量】——【0】和【1】——互换；
③：条件是：变换前后，【运算顺序】不变；
从定义可知：【对偶式】总是相互的：a是b的对偶式，当且仅当b是a的对偶式。
2、【原函数】和【反函数】也是相对的两个概念。它们是通过以下规则实现【互换】的：
①：所有的【与】和【或】互换；
②：所有的【逻辑常量】——【0】和【1】——互换；
④：所有的【逻辑变量】（【原变量】——【p】），均变为相应的【反变量】——【¬p】；
③：条件是：变换前后，【运算顺序】不变；
从定义即可看出：互为【对偶式】的两个【逻辑函数表达式】和互为【反函数】的两个【逻辑函数】，是有很多相同点的。不过也能看出它们的不同点：即变换规则④。这条规则也决定了它们具有不同的性质：
1、【对偶规则】：
我们用【a*】表示【a】的【对偶式】；则：
【a＝b】→【a*＝b*】；（符号【→】表示【推出】）
即：【原式相等的两个表达式，其对偶式也相等】；
（1）根据【对偶式】的对称性，可以很容易地证明上述定理的逆命题也成立；
（2）该定理有一个推论：
【a＝x】∧【a*＝y】→【x*＝y】；（符号【∧】表示【并且】）
即：【与一对对偶式分别相等的两个表达式，也互为对偶式】；
2、【反演规则】：
我们用【f′】表示【f】的【反函数】；则：
【f】＝【¬f′】；
在教材中，表示【反函数】的符号和表示【非】的符号，根本就是同一个。事实上，是先有了【反函数】的概念，再有了【反演规则】——即上面2中所说的4条规则。而【反函数】最初的定义就是根据【非运算】实现的。所以说：
【反演规则】其实就是一个根据【原函数】构造【反函数】的方法；
最后再总结一下：
1、【相同点】——【对称性】；
根据这个性质，可得出以下结论：
（1）（a*）*＝a；即：【a】的【对偶式】的【对偶式】，是【a】本身；
（2）（f′）′＝f；即：【f】的【反函数】的【反函数】，是【f】本身；
2、【不同点】：
（1）不能直接建立【a】与【a*】的关系；只能建立分别与它们【相等】的，【另外两个】表达式的关系；
（2）可以建立【f】与【f′】的直接关系；知道其中一个的【真值】，即可知道另一个的【真值】；

Answer 2

F=(A'+B)(C+D(AC)')
F'=(A'+B)'+(C+D(AC)')'
=AB'+C'(D(AC)')'
=AB'+C'(D'+AC)
=AB'+C'D'
F=(AB'+C'D')'=(A'+B)(C+D)
F*=A'B+CD

F=A[B'+(CD'+E')G]=AB'+ACD'G+AE'G
F'=(A'+B)(A'+C'+D+G')(A'+E+G')
F*=(A+B')(A+C+D'+G)(A+E'+G)