Question

已知函数f（x）=ex-ln（x+m） （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．

问题补充：已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）
当m≤2时，证明f（x）＞0详细回答！谢谢！

Answer 1

证明：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时，函数f′(x)=ex-

1    

x+2    

在（-2，+∞）上为增函数，且f′（-1）＜0，f′（0）＞0．
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（-1，0）．
当x∈（-2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
从而当x=x0时，f（x）取得最小值．
由f′（x0）=0，得ex0=

1    

x0+2    

，ln（x0+2）=-x0．
故f（x）≥f(x0)=

1    

x0+2    

+x0=

(x0+1)2    

x0+2    

＞0．
综上，当m≤2时，f（x）＞0．

Answer 2

f(x)=e^x-ln(x+m)
定义域x+m>0 x>-m
f'(x)=e^x-1/(x+m)

设驻点为x₀，则e^x₀=1/(x₀+m)
x₀+m=e^(-x₀)
∵f''(x)=e^x+1/(x+m)²恒大于0
∴f(x₀)是最小值
∴f(x)≥f(x₀)=e^x₀-ln(x₀+m)
=e^x₀-ln[e^(-x₀)]

=e^x₀+x₀
=e^x₀+e^(-x₀)-m≥2√e^x₀·e^(-x₀)-m=2-m
等号当且仅当e^x₀=e^(-x₀)即x₀=0时成立。
此时，eº=1/(0+m)→m=1
f(x)最小值=f(0)=eº-ln(1)=1>0
∴当m≤2时，f(x)≥2-m>0