Question

用数学归纳法证明： 对任何正整数n，（3n+1）7^n-1能被9整除

Answer 1

(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

Answer 2

题：用数学归纳法证明：
对任何正整数n，(3n+1)*7^n-1能被9整除
AAA
用常见的形式，我会这样写(括号里的内容是注释或者可省去的内容)：
证：
(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除(，命题成立)
（或者写成：易见当n=1时,命题成立）
(2)假设当n=k时 命题成立，设(3k+1)*7^k-1=9M，M为正整数。
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=(21k+28)*7^k-1
=9M+(18k+27)*7^k
=9*[M+(2k+3)*7^k]
即当n=k+1时 命题成立。
(由归纳法原理，)(综上述，原命题)得证。
BBB
我对归纳法的特别表述：
题目即证对任何正整数n,存在整数M,f(n)=(3n+1)*7^n-1=9M. （###）
(1)f(1)=4*7-1=9*3
(2)设（###）成立，则
f(n+1)=(3n+4)*7^n*7-1=(21n+28)*7^n-1=f(n)+(18n+27)*7^n=9(M+(2n+3)*7^n)
于是当n增益为n+1时，命题也成立。
由归纳法原理，命题成立。

以上是对归纳法的改写，本质没有改变。对归纳法的本质分析及其拓展，请参见：
http://www.guangzhouseo.org/hi/so/?wsktuuytyh$_$6f8f433d51e8220cbaa167ee.html

CCC
不用归纳法也不难证:
设n=3k+r,r=0,1,2之一.
(3n+1)*7^n-1 mod 9
==(9k+3r+1)*7^3k*7^r-1
==(3r+1)*7^r-1 (注：7^3k=343^k==1^k=1 mod 9)
故只需检验0,1,2即可。
f(0)=1*1-1=0;
f(1)=4*7-1=27
f(2)=7*7^2-1=7^3-1=342==0 mod 9 (注：这里又出现了形如7^3k的数7^3)
证毕。