Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),又当-1≤x≤1时，f(x)=x的三次方

证明（1）直线X=1是函数f(x)图像的一条对称轴
（2）当x属于【1，5】时，求f(x)的解析式
要详解谢谢

Answer 1

（1）因为是奇函数，所以f(x+2)=-f(x)=f（-x）

把x用x-1代，得f(1+x)=f（1-x）

所以直线X=1是函数f(x)图像的一条对称轴

（2）因为f(x+2)=-f(x)=f（x-2）

所以4是周期，因为当-1≤x≤1时，f(x)=x^3

所以当3≤x≤5时，f(x)=x^3

因为当1≤x≤3时，f(x+2)=-f(x)也成立，此时3≤x+2≤5

所以f(x+2)=（x+2）^3=-f(x) //1≤x≤3

所以当1≤x≤3时，f(x)=-（x+2）^3

综上，当3≤x≤5时，f(x)=x^3；当1≤x≤3时，f(x)=-（x+2）^3
不知您对我的答案是否满意

Answer 2

证明：
1）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）=f（-x），
由f(x+2)=-f(x）知：
f(x+1)=f(x-1） //这里是令x=x-1而得到的//
即：f(x+1)=f【-（x-1）】，
所以得到对称轴x=【（x+1）-（x-1）】/2 =1。

2）

当x属于【1，5】时，
我们得到：x-3属于【-2，2】，
所以（x-3）/2属于【-1，1】，
也就是说（x-3）/2符合方程f（x）=x的三次方了，
所以，f【（x-3）/2】=x的三次方={【（x-3+3）/2】的三次方*8} =
{【（x-3）/2】的三次方+9*（x-3）/2的平方+27*（x-3）/2+27}*8，
//用x代替（x-3）/2得到：f（x）=（x的三次方+9*x的平方+27x+27）*8