Question

高斯公式 题目 ∫∫(x^2COSa+y^2COSb+z^2COSc)dS.其中积分曲面∑为锥面

高斯公式
题目
∫∫(x^2COSa+y^2COSb+z^2COSc)dS.其中积分曲面∑为锥面x^2+y^2=z^2介于平面z=0,z=h(h>0)之间的部分的下侧,COSa,COSb,COSc是∑在点（x,y,z）处的法向量的方向余弦.可不可以请你用高斯公式解这道题？
图片中红色笔那里不懂

Answer 1

 根据高斯公式

原式=∫∫∫(Ω)(2x+2y+2z)dxdydz

=2∫(0→1)dx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)(x+y+z)dz

=∫(0→1)dx∫(0→1-x)[1-(x+y)²]dy

=∫(0→1)(2/3-x+1/3x³)dx

=1/4 

为了利用高斯公式，将目标曲面补成封闭的曲面，且方向向外侧，最后积分值减去这一部分即可。

目标曲面为半球面，补充半球面的底面部分，设为∑a，新形成的封闭曲面设为 ∑b. 在底面时，z = 0，dz = 0.

则：原积分 I = ∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy

= ∫∫∫ 3 dV - 0

= 3V(半球)

= 2πR^3。

扩展资料：

电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

（当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。）

表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。

高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的平方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。

参考资料来源：百度百科-高斯定理