Question

三角形及其外接圆的题目

题目：如图所示，从三角形ABC的顶点A引三条线段：
∠A的平分线AD，∠A的外角平分线AF，三角形ABC
的外接圆的切线AE，点D、E、F依次排列在直线BC上。
试证明：DE=EF。

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

Answer 1

这个问题主要涉及圆内同弧对应的内接角相等、切线与弧线夹角等于该弧线对应的内接角两个知识点。
设圆心为O，连接AO并延长，交圆O于G，连接BG
因为∠AGB与∠ACB的对应弦为AB，所以∠AGB=∠ACB，又因∠AGB+∠BAG=90°，
所以∠ACB+∠BAG=90°
由题知，AE为该圆的切线，故GA⊥AE，∠GAE=90°，即∠EAB+∠BAG=90°，
所以∠EAB=∠AGB
对于△ADC，其外角∠ADE=∠ACD+∠CAD，又因∠CAD=∠DAB和∠EAB=∠AGB
所以∠ADE=∠DAB+∠EAB=∠DAE，则AE=DE
在Rt△DAF中，∠ADE+∠F=90°，∠DAE+∠EAF=90°，所以∠F=∠EAF，则AE=EF，
所以EF=DE