Question

幂级数的和函数怎么求 逐项积分和逐项求导的公式看不懂！还有图片中画黄线这里怎么来的啊？谢谢解答啊

Answer 1

x^n求和，即为首项为x,公比为x，共n项的等比数列求和，根据等比数列求和公式，可得
x*(1-x^n)/(1-x)，因为收敛的时候-1<x<1，所以n趋近于无穷时,x^n趋近于0，1-x^n即趋近于1，所以x*(1-x^n)/(1-x)化简为x/(1-x)，求导得1/(1-x^2)

追问

为什么n趋近于无穷时，x∧n趋近于0😳

追答

因为收敛的时候-1<x<1呀，举个例子吧，x=2时候，肯定是越乘越大，x绝对值小于1的时候，0.1*0.1是不是比原来小了？越乘越小，最后趋近于0

追问

那这里呢

追答

1/(1-x^2)=1/(1-x)(1+x)
而1/(1-x)+1/(1+x)=(1+x)/(1-x)(1+x)+(1-x)/(1-x)(1+x)=2/(1-x)(1+x)
所以1/2(1/(1+x)+1/(1-x))=1/(1-x^2)
就是个分离变量的方法，很常用
1/(1-x)dx积分得-ln(1-x)，1/(1+x)dx积分得ln(1+x)综合相加即为ln(1-x)/(1+x)

追问

1/(1-x)+1/(1+x)=(1+x)/(1-x)(1+x)+(1-x)/(1-x)(1+x)=2/(1-x)(1+x)
所以1/2(1/(1+x)+1/(1-x))=1/(1-x^2) 这样不是反着来的吗？那我要顺着算下去该怎么算呢😳

追答

常用不定积分的公式里有这个，∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 这就是a=1的情况，这些都是必须记住的，要不根本没法做题

追问

好的 谢谢啦