第七题证明
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F'(x)=[(x-a)f(x)-∫[a-->x]f(t)dt]/(x-a)²
=[(x-a)f(x)-∫[a-->x]f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理：存在ξ∈(a,x),使得 ∫[a-->x]f(t)dt=f(ξ)(x-a)
=[(x-a)f(x)-(x-a)f(ξ)]/(x-a)²
=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
由于x>a,x>ξ>a,f '(x)<0,则f(x)为减函数,因此 f(x)<f(ξ)
因此F'(x)<0
=[(x-a)f(x)-∫[a-->x]f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理：存在ξ∈(a,x),使得 ∫[a-->x]f(t)dt=f(ξ)(x-a)
=[(x-a)f(x)-(x-a)f(ξ)]/(x-a)²
=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
由于x>a,x>ξ>a,f '(x)<0,则f(x)为减函数,因此 f(x)<f(ξ)
因此F'(x)<0
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