Question

请各位大神帮忙解答以下第2题的第（6）和第（8）小题，要详细答案，感谢帮助！

Answer 1

　　解：(6)题，∵z=-1是f(z)=[sin(2z)]/(z+1)^3的三阶极点，
　　∴Res[f(z),-1]=(1/2!)lim(z→-1)[(z+1)^3]sin(2z)/(z+1)^3}''=-2lim(z→-1)sin(2z)=2sin2。

　　又，∵f(z)在所有极点的留数之和为0，∴Res[f(z),∞]=-Res[f(z),-1]=-2sin2。
　　(8)题，∵1/(1+z)+…+1/(1+z)^n=[1-1/(1+z)^n]/z，∴f(z)=[1-1/(1+z)^n]/z^2，
　　又，(1+z)^n-1=∑C(n,k)z^k，其中k=1,2，……，n，【C(n,k)表示从n中取出k个数的组合数】，∴z=0、z=-1分别是f(z)一阶、n阶极点。【用“{.}*”表示n-1阶求导】
　　∴Res[f(z),0]=lim(z→0)[1-1/(1+z)^n]/z=n、Res[f(z),-1]=[1/(n-1)!]lim(z→-1){[(z+1)^n][1-1/(1+z)^n]/z^2}*=[1/(n-1)!]lim(z→-1){[(z+1)^n-1]/z^2}*=[1/(n-1)!]lim(z→-1){∑C(n,k)z^(k-2)}*=-C(n,1)=-n。
　　又，f(z)在所有极点的留数之和为0，∴Res[f(z),∞]=-Res[f(z),-1]-Res[f(z),0]=0。
　　供参考。