Question

证明a＞0，σ＞0，a1=1/2(a+σ/a),a(n+1)=1/2(an+σ/an),n=1，2

证明a＞0，σ＞0，a1=1/2(a+σ/a),a(n+1)=1/2(an+σ/an),n=1，2，…，证明：数列｛an｝收敛，且其极限为√σ.

Answer 1

证明：∵a>0，σ>0，∴a1=(a+σ/a)/2≥2√σ/2=√σ>0，又an+1=(an+σ/an)/2>0，且an+1≥2√σ/2=√σ。而a2-a1=(σ/a1-a1)/2=-(a^2-σ)^2/[4a(a^2+σ)]≤0，即a2≤a1，同理an+1≤an。∴{an}单调递减，且有界。故，{an}收敛。设lim(n→∞)an+1=lim(n→∞)an=r，则由递推式，有2r^2=r^2+σ，∴r^2=σ，即lim(n→∞)an=r=√σ。供参考。

Answer 2

嗯，证明好了，解答如图

Answer 3

一人一个，