Question

线性代数 4–r(A)+1=3 和 k1(η2-η1)+k2(η3-η1)+η1 这两行是根

线性代数
4–r(A)+1=3 和 k1(η2-η1)+k2(η3-η1)+η1

这两行是根据什么公式得来的？？

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Answer 1

n1, n2, n3 是 Ax = b 的三个解，则
An1 = b, An2 = b, An3 = b
A(n2-n1) = 0, A(n3-n1) = 0
n2-n1, n3-n1 是导出组 Ax = 0 的基础解系，

题中已证明 r(A) = 2
则Ax = b 的通解是 x = k1(n2-n1)+k2(n3-n1)+n1 = ......

追问

麻烦解答下 r(A)为什么是2？ 看不懂那行

追答

A 中第 2, 3 行元素不成比例，其秩至少为 2， 即 r(A) > = 2,
又 A 只有 3 行， 故 r(A) < = 3, 得 r(A) = 2 或 3.
若 r(A) = 3， 即导出组 Ax = 0 的基础解系含有 4 - r(A) = 1 个线性无关解向量。
n1, n2, n3 是 Ax = b 的三个线性无关的解，则
An1 = b, An2 = b, An3 = b
A(n2-n1) = 0, A(n3-n1) = 0
n2-n1, n3-n1 也线性无关，故导出组 Ax = 0 的基础解系含线性无关解向量有 2 个，
与上述矛盾，故只有 r(A) = 2

Answer 2

因为原方程组有3个线性无关解，所以r(A)＜3（当原方程组只有一个解时，才可得r(A)=3，(α1,α2,α3)线性无关)
又因为r(A)≥2(答案已解释清楚)
综上r(A)=2