如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛吗？
如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛。
任一数列中都能取出一个单调子列，证：
引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。7分2种情况：
1、如果在数列中存在无穷多个“龙头”，那么把这些作为“龙头”的项依次取出来，得到一个严格递减的数列。
2、这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”，取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项），记作a（i（1）），由于a（i（1））不是“龙头”。
在它后面必有一项a（i（2）），满足a（i（1））i（1）；又因为a（i（2））也不是“龙头”，在它后面也必可找到一项a（i（3）），满足a（i（2））i（2）。
依次进行下去，得到的子列a（i（n）），它显然是一个递增的子列．所以任一数列中都能取出一个单调子列．下面证明数列a（n）有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
证明：
当数列a（n）有界，对a（n）中的任一子序列a（i（n）），利用上述结论，能从a（i（n））中取出一个单调的子序列a（i（n（k）））；又因为a（n）有界，那么a（i（n（k）））也有界，单调有界数列必有极限。
所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界。
假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 。
.取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；.这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上。
可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
扩展资料
A（n）数列收敛：显然任意子列收敛，当然有一子列收敛。
设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列,于是对任给ε>0,存在K,当k>K时有：
｜A（nk）－a｜
用N－ε定义来做
对任意ε>0,都存在N1使任意N>N1时│aN-a│N2时│aN-a│2NO+1。
│aN-a│0，存在对应的K1，使任意k>K1时，│a(2k)-A│K2时，│a(2k+1)-A│<ε。
取K0＝max｛K1，K2｝，N＝2K0＋1。当n＞N＝2K0＋1时。
①若n为偶数2k，则n＞N=2K0+1 就是 2k＞2K0+1＞2K1+1＞2K1，k＞K1，
恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε。
②若n为奇数2k+1，则n＞N=2K0+1 就是 2k+1＞2K0+1＞2K2+1，k＞K2，
恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε，
这样，无论n是偶数还是奇数，恒成立 |a(n)-A|＜ε。
