Question

微分方程求特解 以及帮我看下下面如何错了

Answer 1

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y(e)=1的特解。
解：P=y-lnx；Q=xlnx；由于∂P/∂y=1；∂Q/∂x=lnx+1；二者不相等，故不是全微分方程。
但由于(∂P/∂y-∂Q/∂x)/Q=(1-lnx-1)/(xlnx)=-1/x是x的函数，因此有积分因子：
μ=e^∫(-1/x)dx=e^(-lnx)=e^[lnx^(-1)]=x^(-1)=1/x；
把原方程两边乘上这个积分因子，得一个全微分方程：
lnxdy+[(y-lnx)/x]dx=0.............(1)
【此时P=(y-lnx)/x；Q=lnx；∂P/∂y=1/x=∂Q/∂x】
因此(1)存在F(x，y)，使得∂F/∂x=P=(y-lnx)/x........(2)；∂F/∂y=Q=lnx..........(3);
固定y，将(2)对x积分得：F=∫[(y-lnx)/x]dx=y∫(1/x)dx-∫[(lnx)/x]dx=ylnx-∫lnxd(lnx)
=ylnx-(1/2)ln²x+c'(y)；与(3)式比较，可知C'(y)=dC/dy=0，积分之得c(y)=C.
因此F(x，y)=ylnx-(1/2)ln²x+C;
代入初始条件x=e，y=1，得C=1/2-1=-1/2;
故原方程的特解为: ylnx-(1/2)ln²x-1/2=0.
【此题根本不能分离变量！】

追问

能帮我看看 我写的是错在哪儿吗

追答

你如此分离变量后，∫dy/(lnx-y)根本不能积分【因为里边含有lnx】！
你把它写成-∫d[ln(lnx-y)]是胡来！因为在这里不能把lnx看作常量。
你把你的结果F(x,y)=-ln(lnx-y)+lnc取全微分，就知道不等于原式。
你把我作的结果F(x,y)=ylnx-(1/2)ln²x-1/2=0取全微分就知道等于原式。
dF=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy=[(y/x)-(lnx)/x]dx+lnxdy=0
两边同乘以x即得：(y-lnx)dx+xlnxdy=0，这就是原方程。
只有形如dy/dx+py=0的一阶齐次方程才能分离变量。

追问

老师你好，能帮我看下这个吗，这个算式理解不了f(t,y)里面有y。不是应该分离出y才能求导吗。。为什么直接把t换成1/y了