Question

一个不定积分的问题

题目：∫1/((x^2)+(a^2))^(1/2) dx(a>0)
书中令x=atant(-π/2<t<π/2) 求出∫1/((x^2)+(a^2))^(1/2)=ln|sect+tant|+c 再根据tant=x/a做辅助三角形，那么t便成为直角三角形的一个内角，于是推出sect=(((x^2)+(a^2))^(1/2))/a,再将tant=x/a与sect=(((x^2)+(a^2))^(1/2))/a代入ln|sect+tant|+c 便求出题目的答案来，但是既然t是直角三角形的一个内角的话，就不可能是负值，三角形的内角要是负值的话不就没意义了吗，但是由于x的定义域是（-无穷，+无穷），所以书中的解答令(-π/2<t<π/2) ，但是这又不满足三角形的内角规律。
有谁能清楚地讲一下这到底是怎么回事？

Answer 1

一楼的解释是错误的，楼主的疑问是将变量代换的意义狭义化了。

1、本题的问题是积分中的变量代换问题。
由于原来的不定积分，在原理上，由于被积函数的x的取值范围可以是从负
无穷大到正无穷大。所以做变量代换后，必须满足，也只能满足这一条件。

2、当令x=arctant后，因为-∞<x<+∞, 所以当且仅当-π/2<t<+π/2时，满足这
一要求。这是因为x从负无穷大到正无穷大，没有任何周期性的变化，t在负
π/2到正π/2之间变化时，就完全满足了这一条件。这就排除了t在第二、第
三象限的可能。一楼的错误就在这里，没有考虑到x与t之间的一对一的函数
关系，更没有理解为什么要引入主值概念的缘由。

3、在初中生、小学生的概念中，三角形确实没有负角度。可是到了三角函数跟
解析几何结合起来后，负角的概念就很自然了，它只是表示角度所在的象限
或方向(大学物理中角度是角位移，是有方向的。即使面积元，也是有方向
的), 而不是真的有一个“负的，虚有的”角度。

考虑了这些之后，就不难理解楼主的问题所在了。

Answer 2

三角形内角为负值,表示超过180度的钝角