Question

已知直线l与曲线y=-1/x和曲线y=lnx均相切则这样的直线l的条数

已知直线l与曲线y=-1/x和曲线y=lnx均相切则这样的直线l的条数

Answer 1

直线l与曲线y=-1/x和曲线y=lnx均相切,为两者的公切线，斜率相等

y₁'=1/x₁²

y₂'=1/x₂

斜率相等x₂=x₁²

设公切线与y=-1/x的切点的横坐标为a，则y₁切点(a,-1/a),y₂切点(a²,lna²)

切线：y+1/a=1/a²(x-a)→a²y-x+2a=0

或   ：y-lna²=1/a²(x-a²)→a²y-x+a²-a²lna²=0

∴2a=a²-a²lna²,a≠0

a-alna²-2=0

令f(a)=a-alna²-2

f'(a)=1-lna²-2=-lna²-1

驻点：a²=1/e

f''(a)=-2a/a²

f''(-√1/e)>0,a=-√1/e,为极小值点

f''(√1/e)<0,a=√1/e,为极大值点

∵f(-√1/e)<0,f(√1/e)<0,

∴f(a)只有一个零点，即a-alna²-2=0只有一根（a≈-2.4711。

∴只有一条公切线。

Answer 2

因题干不全，不能正常作答。