Question

以知平行四边形ABCD中，AB=2AD，延长AD到F使DF=AD，延长DA到E，使AE=AD这时BF与CE存在什么关系？

以知平行四边形ABCD中，AB=2AD，延长AD到F使DF=AD，延长DA到E，使AE=AD这时BF与CE存在什么关系？请证明你的猜想。

Answer 1

设立CE与BF交点为H，证明CE⊥BF,

已知，平行四边形ABCD，可得AB=DC=2AD，角ABC=角ADC=120度，角BCD=角BAD=60度；
由于，角BAD=60度，可得角BAF=60度；
已知，AB=2AD，AD=DF，可得AF=AB；
由于，AF=AB，角BAF=60度，可得三角形ABF是等边三角形，角ABF=角BFA=角FAB=60度；
已知，DC=2AD，EA=AD，可得ED=DC；
由于，角ADC=120度 ，角ADC=角EDC，可得角EDC=120度；
由于，角EDC=120度，且ED=DC，可得角DEC=角ECD=30度；

现在由BF与CE，交点H，组成的三角形HEF
由于，角CEF=角HEF=30度，角BFE=角HFE=60度，可得角EHF=90度，

可证明CE⊥BF

Answer 2

解：

BF⊥CE

证明如下：

由余弦定理，得

BF²

=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF

=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF

=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²

=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE

=AB²+4AD²+4AB*AD*cos∠BAF

=8AD²(1+cos∠BAF)

∴[BF²/(8AD²)]+[CE²/(8AD²]=2

∴BF²+CE²=16AD²=4AB²

向右平移CE使C到D,E到G，GF=2AB

则BF²+CE²=FG²

∴BF⊥CE

得证！

Answer 3

垂直相交，设EC和BF的交点为O，分别做平行线EG、FH平行与AB和FH并交BC延长线与点G、H，由已知条件可得四边形EGDC和ABFH为菱形，根据菱形的性质，∠ECG为60°，∠FBH为30°，可知∠BOC为90°，所以EC垂直与BF。

Answer 4

解：

BF⊥CE

证明如下：

由余弦定理，得

BF²

=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF

=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF

=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²

=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE

=AB²+4AD²+4AB*AD*cos∠BAF

=8AD²(1+cos∠BAF)

∴[BF²/(8AD²)]+[CE²/(8AD²]=2

∴BF²+CE²=16AD²=4AB²

向右平移CE使C到D,E到G，GF=2AB

则BF²+CE²=FG²

∴BF⊥CE