Question

高一数学问题。要详细过程。

已知定义在R+上的函数F（X）满足条件：①对定义域上任意的X,Y都有F（X）+F（y）=F（xy）；②当x＞1时，F（x）＞0(1）证明F（x）在R+上为增函数；（2）若F（3）=1，且当a为正实数时，解关于X的不等式F（x）-F(1/2a-x)≥2

Answer 1

1.因为定义域是R+ 也就是x>0

任取 0<x1<x2
因为对定义域上任意的X,Y都有F（x）+F（y）=F（xy）
所以F(1)+F(1)=F(1*1)=F(1) ,F(1)=0
F(x1)+F(x2/x1)=F(x2) .F(x2)-F(x1)=F(x2/x1)
而x2>x1>0. x2/x1>1 ,又当x>1时,F(x)>0
所以F(x2)-F(x1)=F(x2/x1)>0
所以F(x) 是增函数

2.因为F(3)=1
F(3*3)=F(9)=F(3)+F(3)=2
将不等式化为:
F(x) ≥F(1/2a-1)+2=F(1/2a-1)+F(9)=F(9/2a-9)
又F(x)是增函数
所以 x≥9/2a-9

Answer 2

(1)解:设X1>1,X2>1,则X1*X2>X1,F(X1*X2)-F(X1)=F(X2)>0,所以。。。单调递增